Định nghĩa Hàm (Định nghĩa 2.1.1)
Một biến ngẫu nhiên $X$ là một hàm số $X: S \to R^1$ gán một số thực $X(s)$ cho mỗi kết quả khả thi $s$ trong không gian mẫu $S$. Xem Hình 2.1.1 để minh họa trực quan quá trình này.
Để nối liền lý thuyết tập hợp với số học, chúng ta định nghĩa hàm chỉ báo của một sự kiện $A$:
$$I_A(s) = \begin{cases} 1 & s \in A \\ 0 & s \notin A \end{cases}$$
Điều này chuyển đổi việc xảy ra của một sự kiện thành một tín hiệu số nhị phân.
Định nghĩa Phân bố (Định nghĩa 2.2.1)
Phân bố của $X$ là tập hợp các xác suất $P(X \in B)$ đối với các tập con $B \subseteq R^1$. Nói một cách chính xác, cần phải có $B$ là một tập con Borel, một hạn chế kỹ thuật đến từ lý thuyết đo. Tuy nhiên, bất kỳ tập con nào chúng ta có thể định nghĩa thực tế đều là một tập con Borel.
Giới hạn và Tính liên tục của Xác suất
Để đảm bảo các hàm số của chúng ta hành xử một cách dự đoán được trong các ngữ cảnh vô hạn, chúng ta dựa vào các tiên đề được thiết lập trong Các định lý 1.3.4 và 1.6.1:
- Tính cộng dồn đếm được (1.7.1): $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(B_n)$, trong đó $B_n$ là các phiên bản rời rạc của $A_n$.
- Tính liên tục của Xác suất (1.7.2): Nếu một dãy các sự kiện $\{A_n\} \nearrow A$, thì $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P(A)$.
Chúng ta muốn chứng minh rằng với bất kỳ dãy các sự kiện $A_1, A_2, \dots$ (không nhất thiết rời nhau):
$$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) \leq P(A_1) + P(A_2) + \cdots$$
Điều này được gọi là Bất đẳng thức Boole và rất cơ bản trong việc giới hạn xác suất trong các hệ thống phức tạp.